Vraag:
De gemiddelde richting van golven in een directionele verdeling
RH_data_maths
2017-01-30 23:08:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Bij het modelleren van oceaangolven wordt een directionele verdeling $ D_f (\ theta) $ gebruikt samen met een frequentiespectrum $ S (f) $ om de energie van golven met een bepaalde frequentie $ f $ en hoek $ \ theta $ te beschrijven .

Ik begrijp dat de directionele verdeling kan worden geschreven als een Fourier-reeks, dwz $$ D_f (\ theta) = \ frac {1} {2 \ pi} \ left [1 + 2 \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ {a_n \ cos (n \ theta) + b_n \ sin (n \ theta) \} \ right] $$ waarbij $ a_n = \ int_0 ^ {2 \ pi} D_f (\ theta) \ cos (\ theta) \, d \ theta $ en $ b_n = \ int_0 ^ {2 \ pi} D_f (\ theta) \ sin (\ theta) \, d \ theta $.

In Kuik (1988), de gemiddelde golfrichting, $ \ theta_0 $, wordt gevonden door $$ \ theta_0 = \ arctan \ left (\ frac {b_1} {a_1} \ right) $$ te berekenen waarbij $ b_1 $ en $ a_1 $ zijn de Fourier-coëfficiënten van de eerste orde.

Naast deze definitie verwijst de auteur de lezer naar Borgman (1969), maar ik kan dit artikel niet op internet vinden.

Mijn vraag is waarom in deze berekening alleen de Fourier-coëfficiënten $ a_1 $ en $ b_1 $ van de eerste orde worden gebruikt?

BEWERKEN: Nadat ik hier meer over heb nagedacht, denk ik dat de feit dat het Fourier-coëfficiënten zijn, is enigszins toeval.

Als de directionele distributie wordt gezien als de PDF (aangezien de integraal ervan gelijk is aan 1), dan lijken $ a_1 $ en $ b_1 $ meer op de verwachte waarden dan de cosinus en sinus van de hoek $ \ theta $ nemen. De gemiddelde waarden kunnen dan worden gebruikt in de $ atan2 $ functie om de gemiddelde hoek te bepalen.

Ik stel me voor dat het een typfout is en ze verwijzen naar Borgman (1979) "Directional Wave Spectra from Wave Sensors" http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4684-3399-9_12 Ik denk dat dit artikel behandeld de formulering.
Een antwoord:
milancurcic
2017-01-31 02:25:11 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Het is nuttig om de betekenis van Fourier-coëfficiënten in de directionele golfspectrumanalyse te begrijpen.

Een pitch-and-roll-boei meet tijdreeksen van waterhoogten $ \ eta $ en hellingen in beide Cartesiaanse routebeschrijving, $ \ eta_x $ en $ \ eta_y $. De Fourier-componenten $ a_0 $, $ a_1 $, $ b_1 $, $ a_2 $, $ b_2 $, zijn gerelateerd aan kruisspectra van hoogte- en hellings tijdreeksen (geïntroduceerd door Longuet-Higgins 1963):

$$ a_0 = \ dfrac {C_ {11}} {\ pi} $$

$$ a_1 = \ dfrac {Q_ {12}} {\ pi} $$

$$ b_1 = \ dfrac {Q_ {13}} {\ pi} $$

$$ a_2 = \ dfrac {C_ {22} -C_ {33}} {k ^ 2 \ pi} $$

$$ b_2 = \ dfrac {2C_ {23}} {k ^ 2 \ pi} $$

waarbij de kruisspectra zijn:

$$ C_ {11} (f) = C [\ eta (f) \ eta (f)] = \ int_0 ^ {2 \ pi} E (f, \ theta) d \ theta $$

$$ Q_ {12} (f) = -Q [\ eta (f) \ eta_x (f)] k ^ {- 1} = - \ int_0 ^ {2 \ pi} E (f, \ theta) \ cos {\ theta} d \ theta $$

$$ Q_ {13} (f) = -Q [\ eta (f) \ eta_y (f)] k ^ {- 1} = - \ int_0 ^ {2 \ pi} E (f, \ theta) \ sin {\ theta} d \ theta $$

$$ C_ {22} (f) = C [\ eta_x (f) \ eta_x (f)] k ^ {- 2} = \ int_0 ^ {2 \ pi} E (f, \ theta) \ cos ^ 2 {\ theta} d \ theta $$

$$ C_ {23} (f) = C [\ eta_x (f) \ eta_y (f)] k ^ {- 2} = \ int_0 ^ {2 \ pi} E (f, \ theta) \ sin {\ theta} \ cos {\ theta} d \ theta $$

$$ C_ {33} (f) = C [\ eta_y (f) \ eta_y (f)] k ^ {- 2} = \ int_0 ^ { 2 \ pi} E (f, \ theta) \ sin ^ 2 {\ theta} d \ theta $$

Vanaf hier kun je zien dat de gemiddelde richting, zoals gedefinieerd in het artikel dat u citeert, is:

$$ \ theta_0 = \ arctan \ left ({\ dfrac {b_1} {a_1}} \ right) = \ arctan \ left ({\ dfrac {Q_ {13}} {Q_ {12}}} \ right) = \ arctan \ left ({\ dfrac {\ int_0 ^ {2 \ pi} E (f, \ theta) \ sin {\ theta } d \ theta} {\ int_0 ^ {2 \ pi} E (f, \ theta) \ cos {\ theta} d \ theta}} \ right) $$

Omdat $ Q_ {12} $ en $ Q_ {13} $ zijn evenredig met de geïntegreerde energie in respectievelijk de zonale en meridionale richtingen, de arctangens van hun verhouding levert de gemiddelde golfrichting op.

De auteurs zouden hogere momenten kunnen gebruiken om de richting te berekenen, maar dit zou een andere fysieke betekenis hebben. In dit specifieke geval zou het gebruik van $ \ theta = \ arctan \ left ({b_2 / a_2} \ right) $ de piekgolfrichting (dominant) opleveren in de context van pitch-and-roll-boeien.

U ziet dat de bovenstaande analyse inherent beperkt is door de hoeveelheden die worden gemeten, specifiek $ \ eta $, $ \ eta_x $ en $ \ eta_y $. Als hogere bestelhoeveelheden, bijvoorbeeld $ \ eta_ {xx} $, $ \ eta_ {xy} $, $ \ eta_ {yy} $, beschikbaar zouden zijn, zou het directionele spectrum met een hogere nauwkeurigheid kunnen worden beschreven, zelfs met alleen Fourier-ontleding.

Verder lezen:

Nogmaals bedankt - je hebt een paar dagen geleden een andere vraag van mij beantwoord, je bent erg behulpzaam!


ⓘ
Deze Q&A is automatisch vertaald vanuit de Engelse taal.De originele inhoud is beschikbaar op stackexchange, waarvoor we bedanken voor de cc by-sa 3.0-licentie waaronder het wordt gedistribueerd.
Loading...